[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.1.22 \(\int \frac {(a+a \sin (e+f x))^m (A+B \sin (e+f x)+C \sin ^2(e+f x))}{(c-c \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx\) [22]

Optimal. Leaf size=216 \[ \frac {(A+B+C) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{4 a f (c-c \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac {(A+B+2 A m+2 B m+C (9+2 m)) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m}{4 c f (1+2 m) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}+\frac {(A (1-2 m)-B (3+2 m)-C (7+2 m)) \cos (e+f x) \, _2F_1\left (1,\frac {1}{2}+m;\frac {3}{2}+m;\frac {1}{2} (1+\sin (e+f x))\right ) (a+a \sin (e+f x))^m}{4 c f (1+2 m) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}} \]

[Out]

1/4*(A+B+C)*cos(f*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^(1+m)/a/f/(c-c*sin(f*x+e))^(3/2)+1/4*(A+B+2*A*m+2*B*m+C*(9+2*m))*cos(f
*x+e)*(a+a*sin(f*x+e))^m/c/f/(1+2*m)/(c-c*sin(f*x+e))^(1/2)+1/4*(A*(1-2*m)-B*(3+2*m)-C*(7+2*m))*cos(f*x+e)*hyp
ergeom([1, 1/2+m],[3/2+m],1/2+1/2*sin(f*x+e))*(a+a*sin(f*x+e))^m/c/f/(1+2*m)/(c-c*sin(f*x+e))^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.43, antiderivative size = 216, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 48, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.104, Rules used = {3114, 3052, 2824, 2746, 70} \begin {gather*} \frac {(A (1-2 m)-B (2 m+3)-C (2 m+7)) \cos (e+f x) (a \sin (e+f x)+a)^m \, _2F_1\left (1,m+\frac {1}{2};m+\frac {3}{2};\frac {1}{2} (\sin (e+f x)+1)\right )}{4 c f (2 m+1) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}+\frac {(2 A m+A+2 B m+B+C (2 m+9)) \cos (e+f x) (a \sin (e+f x)+a)^m}{4 c f (2 m+1) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}+\frac {(A+B+C) \cos (e+f x) (a \sin (e+f x)+a)^{m+1}}{4 a f (c-c \sin (e+f x))^{3/2}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

((A + B + C)*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^(1 + m))/(4*a*f*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) + ((A + B + 2*A*m +
 2*B*m + C*(9 + 2*m))*Cos[e + f*x]*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]]) + ((A*(1
 - 2*m) - B*(3 + 2*m) - C*(7 + 2*m))*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 3/2 + m, (1 + Sin[e + f*x])/2]
*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(4*c*f*(1 + 2*m)*Sqrt[c - c*Sin[e + f*x]])

Rule 70

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d)^n*((a + b*x)^(m + 1)/(b^(
n + 1)*(m + 1)))*Hypergeometric2F1[-n, m + 1, m + 2, (-d)*((a + b*x)/(b*c - a*d))], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m
}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !IntegerQ[m] && IntegerQ[n]

Rule 2746

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(p_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Dist[1/(b^p*f), S
ubst[Int[(a + x)^(m + (p - 1)/2)*(a - x)^((p - 1)/2), x], x, b*Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, m}, x]
&& IntegerQ[(p - 1)/2] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (GeQ[p, -1] ||  !IntegerQ[m + 1/2])

Rule 2824

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist
[a^IntPart[m]*c^IntPart[m]*(a + b*Sin[e + f*x])^FracPart[m]*((c + d*Sin[e + f*x])^FracPart[m]/Cos[e + f*x]^(2*
FracPart[m])), Int[Cos[e + f*x]^(2*m)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n - m), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n},
x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (FractionQ[m] ||  !FractionQ[n])

Rule 3052

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^n/(f*
(m + n + 1))), x] - Dist[(B*c*(m - n) - A*d*(m + n + 1))/(d*(m + n + 1)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Si
n[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&
  !LtQ[m, -2^(-1)] && NeQ[m + n + 1, 0]

Rule 3114

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(a*A - b*B + a*C)*Cos[e + f*x]*(a
 + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(2*b*c*f*(2*m + 1))), x] - Dist[1/(2*b*c*d*(2*m + 1)), Int[
(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[A*(c^2*(m + 1) + d^2*(2*m + n + 2)) - B*c*d*(m - n -
1) - C*(c^2*m - d^2*(n + 1)) + d*((A*c + B*d)*(m + n + 2) - c*C*(3*m - n))*Sin[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{
a, b, c, d, e, f, A, B, C, m, n}, x] && EqQ[b*c + a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && (LtQ[m, -2^(-1)] || (EqQ[m +
 n + 2, 0] && NeQ[2*m + 1, 0]))

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(a+a \sin (e+f x))^m \left (A+B \sin (e+f x)+C \sin ^2(e+f x)\right )}{(c-c \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx &=\frac {(A+B+C) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{4 a f (c-c \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac {\int \frac {(a+a \sin (e+f x))^m \left (-\frac {1}{2} a^2 (A (3-2 m)-(B+C) (5+2 m))+\frac {1}{2} a^2 (A+B+2 A m+2 B m+C (9+2 m)) \sin (e+f x)\right )}{\sqrt {c-c \sin (e+f x)}} \, dx}{4 a^2 c}\\ &=\frac {(A+B+C) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{4 a f (c-c \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac {(A+B+2 A m+2 B m+C (9+2 m)) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m}{4 c f (1+2 m) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}+\frac {(A (1-2 m)-B (3+2 m)-C (7+2 m)) \int \frac {(a+a \sin (e+f x))^m}{\sqrt {c-c \sin (e+f x)}} \, dx}{4 c}\\ &=\frac {(A+B+C) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{4 a f (c-c \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac {(A+B+2 A m+2 B m+C (9+2 m)) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m}{4 c f (1+2 m) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}+\frac {((A (1-2 m)-B (3+2 m)-C (7+2 m)) \cos (e+f x)) \int \sec (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^{\frac {1}{2}+m} \, dx}{4 c \sqrt {a+a \sin (e+f x)} \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}\\ &=\frac {(A+B+C) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{4 a f (c-c \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac {(A+B+2 A m+2 B m+C (9+2 m)) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m}{4 c f (1+2 m) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}+\frac {(a (A (1-2 m)-B (3+2 m)-C (7+2 m)) \cos (e+f x)) \text {Subst}\left (\int \frac {(a+x)^{-\frac {1}{2}+m}}{a-x} \, dx,x,a \sin (e+f x)\right )}{4 c f \sqrt {a+a \sin (e+f x)} \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}\\ &=\frac {(A+B+C) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^{1+m}}{4 a f (c-c \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac {(A+B+2 A m+2 B m+C (9+2 m)) \cos (e+f x) (a+a \sin (e+f x))^m}{4 c f (1+2 m) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}+\frac {(A (1-2 m)-B (3+2 m)-C (7+2 m)) \cos (e+f x) \, _2F_1\left (1,\frac {1}{2}+m;\frac {3}{2}+m;\frac {1}{2} (1+\sin (e+f x))\right ) (a+a \sin (e+f x))^m}{4 c f (1+2 m) \sqrt {c-c \sin (e+f x)}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C] Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.
time = 6.87, size = 4066, normalized size = 18.82 \begin {gather*} \text {Result too large to show} \end {gather*}

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[((a + a*Sin[e + f*x])^m*(A + B*Sin[e + f*x] + C*Sin[e + f*x]^2))/(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(2^(-3/2 - 2*m)*(B + 2*C)*(-(4^m*Hypergeometric2F1[1, 2*m, 1 + 2*m, Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]]) + Hypergeometri
c2F1[2*m, 2*m, 1 + 2*m, (1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)/2]*(Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m))*(Cos[(e + f*x)
/2] - Sin[(e + f*x)/2])^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*m*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - (C*(((-1/2*I)*(((-I)*2^(1
 - 2*m)*((1 + E^(I*(-e + Pi/2 - f*x)))/E^((I/2)*(-e + Pi/2 - f*x)))^(1 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 1/
2 - m, -E^(I*(-e + Pi/2 - f*x))])/(1 + 2*m) + (I*2^(1 - 2*m)*(1 + E^(I*(-e + Pi/2 - f*x)))^2*((1 + E^(I*(-e +
Pi/2 - f*x)))/E^((I/2)*(-e + Pi/2 - f*x)))^(-1 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1, 3/2 + m, 3/2 - m, -E^(I*(-e + Pi/2
- f*x))])/(-1 + 2*m)))/Sqrt[2] - (Sqrt[2]*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + 2*m)/
2, (4 + 2*m)/2, Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2])/((2 + 2*m)*Sqrt[Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]
^2]))*(Cos[(e + f*x)/2] - Sin[(e + f*x)/2])^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m)/(f*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*(c - c
*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (C*(((I/2)*(((-I)*2^(1 - 2*m)*((1 + E^(I*(-e + Pi/2 - f*x)))/E^((I/2)*(-e + Pi/2 - f*x
)))^(1 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1, 1/2 + m, 1/2 - m, -E^(I*(-e + Pi/2 - f*x))])/(1 + 2*m) + (I*2^(1 - 2*m)*(1
+ E^(I*(-e + Pi/2 - f*x)))^2*((1 + E^(I*(-e + Pi/2 - f*x)))/E^((I/2)*(-e + Pi/2 - f*x)))^(-1 + 2*m)*Hypergeome
tric2F1[1, 3/2 + m, 3/2 - m, -E^(I*(-e + Pi/2 - f*x))])/(-1 + 2*m)))/Sqrt[2] - (Sqrt[2]*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/
2]^(2 + 2*m)*Hypergeometric2F1[1/2, (2 + 2*m)/2, (4 + 2*m)/2, Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x
)/2])/((2 + 2*m)*Sqrt[Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2]))*(Cos[(e + f*x)/2] - Sin[(e + f*x)/2])^3*(a + a*Sin[e + f*x
])^m)/(f*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^(2*m)*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)) - ((A + B + C)*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2
)^(2*m)*(Cos[(e + f*x)/2] - Sin[(e + f*x)/2])^3*(a + a*Sin[e + f*x])^m*(AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2, Tan[(-e + Pi
/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*(Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2 - (
AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2, Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*
(Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m))/(1 - Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2
*m) + (2^(1 - 2*m)*AppellF1[1 + 2*m, 2*m, 1, 2 + 2*m, (1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)/2, 1 - Tan[(-e + Pi/2 -
 f*x)/4]^2]*(-1 + Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^4)^(2*m))/(1 + 2*m)))/(8*Sqrt[2]*f
*(c - c*Sin[e + f*x])^(3/2)*(Cos[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2] - Sin[Pi/4 + (e - Pi/2 + f*x)/2])^3*(-1/8*(m*Cos[(
-e + Pi/2 - f*x)/4]*(Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(-1 + 2*m)*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/4]*(AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2
, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*(Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*Tan[(-e + Pi/2 -
 f*x)/4]^2 - (AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2, Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Cot[(-e + Pi/
2 - f*x)/4]^2*(Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m))/(1 - Cot[(-e + Pi/2 -
 f*x)/4]^2)^(2*m) + (2^(1 - 2*m)*AppellF1[1 + 2*m, 2*m, 1, 2 + 2*m, (1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)/2, 1 - Ta
n[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*(-1 + Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^4)^(2*m))/(1 + 2*m))
)/Sqrt[2] + ((Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*((AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(
-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*(Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(1 + 2*m)*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/2 + m*AppellF1[1, -2*m
, 2*m, 2, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*(Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*Tan[(-e
+ Pi/2 - f*x)/4]^3 + (Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*(-1/2*(m*AppellF1[2, 1 - 2*
m, 2*m, 3, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2
- f*x)/4]) - (m*AppellF1[2, -2*m, 1 + 2*m, 3, Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Sec[(-e
 + Pi/2 - f*x)/4]^2*Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4])/2) + (m*AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2, Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -C
ot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^3*(Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 -
 f*x)/4]^2)^(2*m))/(1 - Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m) + m*AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2, Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/
4]^2, -Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^3*(1 - Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(-1 - 2*m)*(Csc
[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(1 + 2*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m) + (AppellF1[1, -2*m, 2*m, 2, Cot[(-e
 + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]*(Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(1 + 2
*m)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m))/(2*(1 - Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)) - (Cot[(-e + Pi/2 - f*x
)/4]^2*(Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m)*((m*AppellF1[2, 1 - 2*m, 2*m, 3, Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Cot[(-
e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)/2 + (m*AppellF1[2, -2*m, 1 + 2*m, 3
, Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2, -Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2]*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/4]*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2
)/2)*(1 - Tan[(-e + Pi/2 - f*x)/4]^2)^(2*m))/(1...

________________________________________________________________________________________

Maple [F]
time = 1.47, size = 0, normalized size = 0.00 \[\int \frac {\left (a +a \sin \left (f x +e \right )\right )^{m} \left (A +B \sin \left (f x +e \right )+C \left (\sin ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )}{\left (c -c \sin \left (f x +e \right )\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx\]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)+C*sin(f*x+e)^2)/(c-c*sin(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

int((a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)+C*sin(f*x+e)^2)/(c-c*sin(f*x+e))^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Failed to integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)+C*sin(f*x+e)^2)/(c-c*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((C*sin(f*x + e)^2 + B*sin(f*x + e) + A)*(a*sin(f*x + e) + a)^m/(-c*sin(f*x + e) + c)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {could not integrate} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)+C*sin(f*x+e)^2)/(c-c*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((C*cos(f*x + e)^2 - B*sin(f*x + e) - A - C)*sqrt(-c*sin(f*x + e) + c)*(a*sin(f*x + e) + a)^m/(c^2*cos
(f*x + e)^2 + 2*c^2*sin(f*x + e) - 2*c^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\left (a \left (\sin {\left (e + f x \right )} + 1\right )\right )^{m} \left (A + B \sin {\left (e + f x \right )} + C \sin ^{2}{\left (e + f x \right )}\right )}{\left (- c \left (\sin {\left (e + f x \right )} - 1\right )\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))**m*(A+B*sin(f*x+e)+C*sin(f*x+e)**2)/(c-c*sin(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Integral((a*(sin(e + f*x) + 1))**m*(A + B*sin(e + f*x) + C*sin(e + f*x)**2)/(-c*(sin(e + f*x) - 1))**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Exception raised: TypeError} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+a*sin(f*x+e))^m*(A+B*sin(f*x+e)+C*sin(f*x+e)^2)/(c-c*sin(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2:=int(sage0,sageVARx):;OUTP
UT:Warning, integration of abs or sign assumes constant sign by intervals (correct if the argument is real):Ch
eck [abs(si

________________________________________________________________________________________

Mupad [F]
time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \begin {gather*} \int \frac {{\left (a+a\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}^m\,\left (C\,{\sin \left (e+f\,x\right )}^2+B\,\sin \left (e+f\,x\right )+A\right )}{{\left (c-c\,\sin \left (e+f\,x\right )\right )}^{3/2}} \,d x \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((a + a*sin(e + f*x))^m*(A + B*sin(e + f*x) + C*sin(e + f*x)^2))/(c - c*sin(e + f*x))^(3/2),x)

[Out]

int(((a + a*sin(e + f*x))^m*(A + B*sin(e + f*x) + C*sin(e + f*x)^2))/(c - c*sin(e + f*x))^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]